УДК 528.33:551.24
М. FYS, М. YURKIV, А. BRYDUN, V. LOZYNSKYI
Department of Cartography and Geospatial Modeling of Lviv Polytechnic National University, 12, S. Bandera str., 79013, Lviv, Ukraine, e-mail: Mariana.I.Yurkiv@lpnu.ua
ONE OPTION OF CONSTRUCTING THREE-DIMENSIONAL DISTRIBUTION
OF THE MASS AND ITS DERIVATIVES FOR A SPHERICAL PLANET EARTH
Purpose. To build a three-dimensional function of the mass distribution of the Earth's interior according to the parameters (Stokes constant to the second order inclusive) of the external gravitational field of the Earth without considering the minimum deviation from its known density models in geophysics. Methodology. The classic methods of constructing mass distribution use only the Stoke’s constants zero and second orders. In iterative methods of determining the distribution models the reference model of density is taken for zero approximation which is agreed upon by Stoke’s constants up to the second order inclusive. Further, the coefficients of potential expansion to a certain order are taken into account, but their contribution to the function of mass density does not investigate. This research provides an attempt to obtain such an estimation. The proposed method is approximate, but in the iterative process a function of the density is not only used, but also its derivatives. Bringing the order moments of density toward the controlled values (values that are defined on the surface of a sphere) makes it possible to analyze the process of successive approximations. Results. In contrast to the second-order model, which describes the global gross irregularities, the obtained distribution function gives a detailed picture of the placement density anomalies (deviation of three-dimensional functions from the average on the sphere – “izoden”). Analysis of maps at different depths
(2891 km core-mantle, 5,150 km of the inner-outer core) allow making preliminary conclusions about global redistribution of mass due to the rotating component of gravity across the radius: its dilution along the axis of rotation and accumulation of rejecting it. This is particularly evident for the equatorial regions. On the contrary, there is minimum deviation in the polar regions of the Earth, which also have their own justification since the value of the rotation force decreases when moving away from the equator. The function of mass distribution, which is constructed using the proposed method, describes the mass distribution better. Originality. This research is in contrast to the classical results which have been obtained from the Adams-William’s equations for the derivatives of the density of one variable (depth), and make attempted to obtain derivatives using Cartesian coordinates. Using the gravitational field parameters up to second order increases the order of approximation of the distribution function of the masses of three variables from two to four through the possibility of restoring the planet's mass distribution by its derivatives. At the same time, in contrast to previous research, geophysical information accumulated in the reference PREM model is used, therefore, features of the internal structure are taken into account. Practical significance. The received function of mass distribution of the Earth can be used as a zero-order approximation when used in the presented algorithm Stokes constant of higher order. Their applications give the possibility to interpretate of the global anomalies of the gravitational field, and explore the geodynamic processes deep inside the Earth.
Key words: potential, harmonic function, gravitational field of the Earth, mass distribution model, Stoke’s constants.

Кількість посилань 25

М. М. ФИС, М. І. ЮРКІВ, А. М. БРИДУН, В. А. ЛОЗИНСЬКИЙ
Кафедра картографії та геопросторового моделювання, Національний університет “Львівська політехніка”,
вул. С. Бандери, 12, Львів, Україна, 79013, ел. пошта Mariana.I.Yurkiv@lpnu.ua
ОДИН ВАРІАНТ ПОБУДОВИ МОДЕЛІ ТРИВИМІРНОГО РОЗПОДІЛУ МАС НАДР
ТА ЙОГО ПОХІДНИХ ДЛЯ СФЕРИЧНОЇ ПЛАНЕТИ ЗЕМЛЯ
Мета. За параметрами (стоксовими постійними до другого порядку включно) зовнішнього гравітаційного поля Землі побудувати тривимірні функції розподілу мас надр Землі без умови про мінімальне її відхилення від відомої в геофізиці моделі густини та встановити внесок коефіцієнтів розкладу потенціалу в разі їх уточнення. Методика. Класичні методи побудови розподілу мас використовують тільки стоксові постійні нульового та другого порядків. У ітераційних способах визначення модельних розподілів за нульове наближення береться референцна модель густини, узгоджена зі стоксовими постійними до другого порядку включно. Далі враховують коефіцієнти розкладу потенціалу до визначеного порядку, але при цьому не досліджено їхній внесок у функцію густини мас. У роботі зроблено спробу отримання такої оцінки. Запропонований метод також наближений, але в ітераційному процесі використовується не лише функція густини, але також її похідні. Зведення степеневих моментів густини до контрольованих значень (величин, визначених на поверхні кулі) дає можливість аналізувати процес послідовних наближень. Результати. На відміну від моделі другого порядку, яка описує грубі глобальні неоднорідності, отримана функція розподілу дає детальнішу картину розміщення аномалій густини (відхилення тривимірної функції від усередненої по сфері – “ізоденс”). Аналіз карт на різних глибинах (2891 км ядро-мантія, 5150 км внутрішнє-зовнішнє ядро) дає змогу зробити попередні висновки про глобальний перерозподіл мас за рахунок обертової складової сили тяжіння по всьому радіусу: її розрідження вздовж осі обертання та скупчення при відхиленні від неї. Це особливо проявляється для екваторіальних областей. Навпаки, в полярних частинах Землі спостерігається мінімум такого відхилення, що також має своє пояснення: величина сили обертання зменшується при відході від екватора. Побудована за допомогою запропонованого методу функція розподілу мас повніше описує розподіл мас. Наукова новизна. На відміну від класичних результатів, отриманих з рівняння Адамса-Вільямса для похідних густини однієї змінної (глибини), в роботі зроблено спробу одержати похідні за декартовими координатами. Використання в описаному методі параметрів гравітаційного поля до другого порядку включно збільшує порядок апроксимації функції розподілу мас трьох змінних з двох до чотирьох за рахунок можливості відновлення розподілу мас надр планети за її похідними. На відміну від попередніх досліджень, тут використовується геофізична інформація, акумульована в реферецній моделі PREM, а тому враховуються особливості внутрішньої структури. Практична значущість. Отриману функцію розподілу мас Землі можна використати як нульове наближення в разі вживання в поданому алгоритмі стоксових постійних вищих порядків. Її застосування дає можливість інтерпретувати глобальні аномалії гравітаційного поля та вивчати глибинні геодинамічні процеси всередині Землі.
Ключові слова: потенціал, гармонічна функція, гравітаційне поле Землі, модель розподілу мас, стоксові постійні.
М. М. ФЫС, М. И. ЮРКИВ, А. М. БРЫДУН, В. А. ЛОЗЫНСКИЙ
Кафедра картографии и геопространственного моделирования, Национальный университет “Львовская политехника”,
ул. С. Бандеры, 12, Львов, Украина, 79013, ел. почта Mariana.I.Yurkiv@lpnu.ua
ОДИН ВАРИАНТ ПОСТРОЕНИЯ ТРЕХМЕРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАС НЕДР
И ЕГО ПРОИЗВОДНЫХ ДЛЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ПЛАНЕТЫ ЗЕМЛЯ
Цель. По параметрам (стоксовым постоянными до второго порядка включительно) внешнего гравитационного поля Земли построить трехмерные функции распределения масс недр Земли не учитывая условия о минимальном ее отклонении от известной в геофизике модели плотности и установить вклад коэффициентов разложения потенциала при их уточнении. Методика. Классические методы построения распределения масс используют только стоксовые постоянные нулевого и второго порядков. В итерационных методах определения модельных распределений нулевым приближением считается референцная модель плотности, которая согласована со стоксовыми постоянными до второго порядка включительно. Далее, учитываются коэффициенты разложения потенциала определенного порядка, но при этом не исследуется их вклад в функцию плотности масс. В работе приведена попытка получения такой оценки. Предложенный метод также приближенный, но в итерационном процессе используется не только функция плотности, но и ее производные. Приведение степенных моментов плотности к контролируемым значениям (величинам, что определены на поверхности шара) дает возможность анализировать процесс последовательных приближений. Результаты. В отличие от модели второго порядка, описывающей грубые глобальные неоднородности, полученная функция распределения дает подробную картину размещения аномалий плотности (отклонения трехмерной функции от усредненной по сфере – “изоденс”). Анализ карт на разных глубинах (2891 км ядро-мантия, 5150 км внутреннее-внешнее ядро) позволяет сделать предварительные выводы о глобальном перераспределении масс за счет вращающейся составляющей силы тяжести по всему радиусу: ее разжижения вдоль оси вращения и скопления при отклонении от нее. Это особенно проявляется для экваториальных областей. Напротив, в полярных частях Земли наблюдается минимум такого отклонения, что также имеет свое объяснение: величина силы вращения уменьшается при отходе от экватора. Построена с помощью предложенного метода функция распределения масс, полнее описывает распределение масс. Научная новизна. В отличие от классических результатов, полученных из уравнения Адамса-Вильямса для производных плотности одной переменной (глубины), в работе предпринята попытка получить производные по декартовым координатам. Использование в описанном методе параметров гравитационного поля до второго порядка включительно увеличивает порядок аппроксимации функции распределения масс трех переменных с двух до четырех за счет возможности восстановления распределения масс недр планеты по ее производными. При этом, в отличие от предыдущих исследований, здесь используется геофизическая информация, аккумулированная в реферецной модели PREM, а потому, учитываются особенности внутренней структуры. Практическая значимость. Полученная функция распределения масс Земли может быть использована как нулевое приближение при наличии в представленном алгоритме стоксовых постоянных высших порядков. Ее применение дает возможность интерпретировать глобальные аномалии гравитационного поля и изучать глубинные геодинамические процессы внутри Земли.
Ключевые слова: потенциал, гармоническая функция, гравитационное поле Земли, модель распределения масс, стоковые постоянные.

Received 01.09.2016