Вступ

При математичному описі різних явищ природи часто отримують математичні моделі у вигляді рівнянь, які містять незалежні змінні, невідому функцію та її похідні. Такі рівняння називають диференціальними. З виникненням і подальшим розвитком теорії диференціальних рівнянь природознавство одержало потужний інструмент для моделювання та дослідження різних проблем науки та техніки. Диференціальні рівняння, в яких невідома функція залежить від двох і більше незалежних змінних, називаються диференціальними рівняннями в частинних похідних.
Розділ математики, який вивчає математичні моделі, що описують різноманітні фізичні явища, називається математичною фізикою. До фізичних процесів належать явища, які вивчаються в гідродинаміці, теорії пружності, електродинаміці, теорії теплопровідності, квантовій механіці тощо. Математичні задачі, які при цьому виникають, мають багато спільного та становлять предмет математичної фізики.
Методи дослідження математичної фізики є за своєю суттю математичними. Проте постановка задач, яка тісно зв’язана з вивченням фізичних процесів, має специфічні риси.
Коло питань, які належать до математичної фізики, є надзвичайно широке. У цій книзі розглядаються лише задачі математичної фізики, які приводять до рівнянь з частинними похідними другого порядку.
У першому розділі посібника розглянуто класифікацію диференціальних рівнянь в частинних похідних. У другому розділі викладено математичну постановку найтиповіших задач математичної фізики; ці задачі згруповані за типами. Третій, четвертий, п’ятий, шостий та восьмий розділи стосуються основних методів розв’язування диференціальних рівнянь гіперболічного типу в різних областях простору. У сьомому розділі розглядається метод розділення змінних (метод Фур’є) та інтегральні перетворення для різних типів задач. Методи розв’язування диференціальних рівнянь параболічного типу висвітлено у дев’ятому розділі. У десятому та одинадцятому розділах розглянуто методи розв’язування рівнянь Лапласа та Пуассона. У дванадцятому розділі викладено основи теорії потенціалу та її застосування до розв’язування крайових задач для рівнянь Лапласа та Пуассона. Особливу увагу звернуто на постановку задач та фізичну інтерпретацію отриманих результатів, які, за змогою, проілюстровано рисунками.
У кожному розділі наведено приклади розв’язання типових задач, вправи, а також задачі для самостійного розв’язування з поданими в кінці книги відповідями. Для зручності посібник містить предметний покажчик. Матеріал, який викладено в книзі, взято переважно з літератури, список якої подано в кінці книги.