Applying the concept of generating polynomials to the antenna synthesis problem by power criterion
Andriychuk M. I., Bulatsyk O. O., Voytovych M. M.
Pidstryhach Institute
for Applied Problems of Mechanics and Mathematics
National Academy of Sciences of Ukraine
3“B” Naukova str., 79060, Lviv, Ukraine

The antenna synthesis problem according to the prescribed power radiation pattern with the equality norm condition is considered. It is solved by the approach based on the concept of generating polynomials. The variational formulation, supplied by the Lagrange method of multipliers, is applied. The Lagrange–Euler equation for obtained functional is a nonlinear integral equation of the Hammerstein type. The polynomial approach is described for a generalized equation of this type, which holds for different types of antennas. The modified Newton method is used for numerical solving of the respective systems of integro-transcendental equation. The approach is applied to the concrete problems related to the linear antenna, equidistant antenna array, and the circular aperture antenna. The numerical results are obtained and analyzed.
Keywords: antenna synthesis problem, power criterion, Hammerstein equation, generating polynomial

Розглядається задача синтезу антен за заданою дiаграмою напрямленостi за потуж¬нiстю з додатковою умовою рiвностi норм. Вона розв’язується з використанням кон¬цепцiї породжуючих полiномiв. Сформульована варiацiйна постановка з наступним використанням методу множникiв Лагранжа. Рiвняння Лагранжа-Ейлера для одер-жаного функцiонала є нелiнiйним iнтегральним рiвнянням типу Гаммерштейна. Описано полiномiальний пiдхiд у застосуваннi до загального рiвняння такого типу, яке охоплює рiзнi типи антен. Для розв’язування iнтегро-трансцендентних рiвнянь, що одержуються при цьому, використовується модифiкований метод Ньютона. Пiд¬хiд застосовано до конкретних задач, якi стосуються лiнiйної антени, еквi¬дистантної ан-тенної гратки та кругової апертурної антени. Приведено та проаналiзовано одержанi числовi результати.
Ключовi слова: синтез антен, критерiй за потужнiстю, рiвняння Гаммерштейна, породжуючий полiном
2000 MSC: 65K10, 65R20, 78A50
УДК: 621.396
Кількість посилань 17

Integral photoelasticity relations for inhomogeneously strained dielectrics
Chekurin V. F.
Kuyawy and Pomorze University in Bydgoszcz, Poland

A model for interaction of polarized light with inhomogeneously strained non-magnetizable dielectric solid is considered in the paper. The model establishes ray photoelasticity integrals connecting distributions of strain tensor components on any direction on the body volume with measurable optical parameters of polarized light beam propagating in this direction. The model can be used for developing mathematical methods for polarized-optical computational tomography of stress-strained states of dielectric solids.
Keywords: strained dielectrics, photoelasticity phenomenon, strain fields tomography, polarization-optical methods
Розглянуто модель взаємодiї поляризованого свiтла iз неоднорiдно деформованим немагнiтним дiелектричним тiлом. Встановленi променевi iнтеграли фотопружнос¬тi, якi пов’язують розподiли компонент тензора деформацiї у будь-якому напрямку в об’ємi тiла з вимiрювальними поляризацiйно-оптичними параметрами свiтлового променя, що поширюється у цьому напрямку. Модель можна використати для розроблення математичних методiв для поляризацiйно-оптичної обчислювальної томографiї напружено-деформованого стану дiелектричних тiл.
Ключовi слова: деформованi дiелектрики, явище фотопружностi, томографiя тензорних полiв, поляризацiйно-оптичнi методи
2000 MSC: 35Q60
УДК: 538.9; 539.8

Кількість посилань 15

Modeling of the energy-loss piezoceramic resonators by electric equivalent networks with passive elements
Karlash V. L.
S. P. Timoshenko Institute of Mechanics, The National Academy of Sciences of Ukraine
3 Nesterov str., 03057, Kyiv, Ukraine

This paper is devoted to analysis of the modern achievements in energy loss problem for piezoceramic resonators. New experimental technique together with computing permits us to plot many resonators’ parameters: admittance, impedance, phase angles, and power components etc. The author’s opinion why mechanical quality under resonance is different from that under anti-resonance is given. The reason lies in clamped capacity and elec¬tromechanical coupling factor’s value. The better electromechanical coupling, the stronger capacity clamping, and the higher its influence on anti-resonant frequency and quality. It is also established that considerable nonlinearity of admittance in constant voltage regime is caused by instantaneous power level.
Keywords: piezoceramic resonators, electromechanical coupling, clamped capacity, in-stantaneous power
Стаття присвячена аналiзу сучасних досягнень в проблемi втрат енергiї в п’єзокера-мiчних резонаторах. Нова експериментальна технiка разом з комп’ютером дозволяє наносити багато параметрiв резонатора: адмiтанс, iмпеданс, фазовi кути, компоненти потужностi тощо. Подана думка автора, чому добротностi на резонансi та антирезонансi рiзнi. Причина полягає у величинах затиснутої ємностi та коефiцiєнту зв’язку. Чим кращий електромеханiчний зв’язок, тим сильнiше затиснута ємнiсть i тим бiльший її вплив на анти-резонансну частоту й добротнiсть. Встановлено також, що значна нелiнiйнiсть адмiтансу в режимi сталої напруги спричинена рiвнем миттєвої потужностi.
Ключовi слова: п’єзокерамiчнi резонатори, електромеханiчний зв’язок, затиснута ємнiсть, миттєва потужнiсть
2000 MSC: 74-05; 74F15
УДК: 534.121.1

Кількість посилань 34

Structure of geometrical nonlinearities in problems of liquid sloshing in tanks of non-cylindrical shape
Limarchenko O. S.1, Cattani C.2, Pilipchuk V.3
1Taras Shevchenko National University of Kyiv
4-E Academician Glushkov Avenue, 01033, Kyiv, Ukraine
2University of Salerno
Via Giovanni Paolo II, Fisciano (SA), Italy
3Wayne State University
42 W. Warren Avenue, Detroit, MI 48202, USA
Structure of geometrical nonlinearities in mathematical model of liquid sloshing in tanks of non-cylindrical shape is under consideration. In contrast to the case of cylindrical reservoir, some new types of nonlinearities occur in mathematical statement of the problem. They are connected with four main reasons. First, they are determined by new normal modes, which correspond to non-cylindrical shape of the tank and take into account some nonlinear properties of the problem (for example, they follow tank walls above level of a free surface). Second, determination of the potential energy of the liquid includes tanks geometry in close vicinity of cross-section of undisturbed free surface of the liquid and tank walls. Third type of manifestation of geometrical nonlinearities is connected with compensation of elevation of liquid level due to non-cylindrical type of tank shape for providing law of mass conservation. The fourth type of nonlinearities is connected with simultaneous manifestation of physical and geometrical nonlinearities. Investigation showed that mostly manifestation of nonlinear properties of liquid sloshing, connected with geometrical nature, is predetermined by inclination and curvature of tank walls in close vicinity of contact of undisturbed liquid with tank walls. We illustrated some general properties of geometrical nonlinearities by the example of three cases of tanks, namely, cylindrical, conic, and paraboloidal tank, which is selected such that its walls have the same inclination near free surface of the liquid as conic tank, but in this case curvature is manifested supplementary.
Keywords: nonlinear dynamics of liquid, liquid sloshing, geometrical nonlinearities, numerical example Розглянуто структуру геометричних нелiнiйностей в математичнiй моделi коливань рiдини в баках. На вiдмiну вiд випадку цилiндричного резервуара деякi новi нелiнiйностi проявляються в математичнiй постановцi задачi. Вони пов’язанi з чотирма причинами. Перше, вони визначаються новими формами коливань, якi вiдповiдають нецилiндричнiй формi бака i приймають до уваги деякi нелiнiйнi властивостi задачi (наприклад, вони слiдують по стiнках бака вище рiвня вiльноїх поверхнi рiдини). Друге, iизначення потенцiальної енергiї рiдини включає геометрiю бака в околi перетину незбуреної вiльної поверхнi рiдини i стiнок бака. Третiй тип прояву геометричних нелiнiйностей пов’язаний з компенсацiєю пiдйомi рiвня рiдини через нецилiндричнiсть форми бака для виконання закону збереження маси. Четвертий тип нелiнiйностей пов’язаний з одночасним проявом фiзичних i геометричних нелiнiйностей. Дослiдження показує, що переважно прояв нелiнiйних властивостей коливань рiдини, викликаний геометричною природою, визначається нахилом i кривизною стiнок бака в околi контакту незбуреної рiдини з стiнками бака. Показано деякi загальнi властивостi геометричних нелiнiйностей на прикладi трьох бакiв: цилiндричний, конiчний i параболоїдальний бак, який пiдiбраний так, що бак має онаковий нахил бiля вiльної поверхнi рiдини, проте в цьому випадку додатково проявляється кривизна.
Ключовi слова: нелiнiйна динамiка рiдини, коливання рiдини, геометричнi нелiнiйностi, чисельний приклад
2000 MSC: 76B07, 76B99
УДК: 532.595

Кількість посилань 4

Simulation of nonstationary regimes of gas transmission systems operation
Prytula N. M.1,2, Gryniv O. D.2, Dmytruk V. A.1,3
1Centre of Mathematical Modelling of Ukrainian National Academy of Sciences
15 Dudayev str., 79005, Lviv, Ukraine
2LTD “Mathematical centre”
48 Volodymyr the Great str., 79054, Lviv, Ukraine
3Lviv Polytechnic National University
12 S. Bandera str., 79013, Lviv, Ukraine

A mathematical model of the gas transmission system is studied in this article. Models of gas flows in the main technological objects that are involved in the transportation of gas are represented. The structure of the system is represented in terms of graph theory. Adaptive algorithm of the gas transportation system model implementation is constructed and real-world examples of its work are presented in this paper.
Keywords: gas transmission system, technological scheme, model of gas flow, system
operation mode
В роботi дослiджено математичну модель газотранспортної системи. Приведенi моделi газових потокiв в основних технологiчних об’єктах, якi приймають участь в транспортуваннi газу. Структура системи представлена в термiнах теорiї графiв. Побудовано адаптивний алгоритм реалiзацiї моделi газотранспортних систем i приведенi реальнi приклади його роботи.
Ключовi слова: газотранспортна система, технологiчна схема, модель газового потоку, режим роботи системи
2000 MSC: 35B; 65P
УДК: 621.64.029

Кількість посилань 6

On three facts of reticences in the classical mathematical modeling of elastic materials
Rushchitsky J. J.
S. P.Timoshenko Institute of Mechanics
3 Nesterov str., 03680, Kyiv, Ukraine
Three facts of reticences (passing over in silence, an absence of comments) in the procedures of mathematical modeling of elastic materials are described and commented. The first fact consists in a reticence of one of the first steps in the mentioned above procedure – an assumption that the kinematics of deformation is described by the linear approximation of motion of material continuum, namely by gradients of deformation. In the paper, a novel nonlinear approach to this procedure is offered. The second and third facts are associated with constitutive relations. The second fact consists in the absence of necessary comments relative to determination of smallness of strains and gradients of displacements (absence of comments relative to a criterion of applicability of the linear model) because the criterion |u_(i,k)^ |≪1 is sufficiently abstract. It is shown that there exists a based on the nonlinear Cauchy relations approximate procedure of determination of threshold values of strains and gradients of deformations starting with which a nonlinearity of process appears. The third fact consists in the absence of comments relative to essential differences between the nonlinear constitutive equations, which are written for the ordered pairs “Lagrange stress tensor – Cauchy-Green strain tensor” and “Kirchhoff stress tensor – gradients of displacements”. It is shown on an example of the shear stress and the Murnaghan model of nonlinear elastic deformation that deviation from the corresponding straight lines of linear deformation for different pairs differs in many times in the range of small strains and small gradients of displacements. The general estimate of facts of reticences looks positive, because for one part of scientists-mechanicians the reticences form the comfort feeling of monolithic character of the classical theory of elasticity, whereas for another part the reticences form a space for development of the theory of elasticity.
Keywords: mathematical modeling of elastic materials, reticences in classical nonlinear theory of elasticity, smallness of strains and gradients of displacements, nonlinear kinematic parameters
Описано i прокоментовано три факти умовчання (вiдсутностi коментарiв) в процедурах математичного моделювання пружних матерiалiв. Перший факт полягає в некоментуваннi одного з перших крокiв у згаданiй процедурi – припущення, що кiнематика деформування описується за допомогою лiнiйної апроксимацiї руху матерiального континууму, а саме за допомогою градiєнтiв деформацiї. У статтi запропоновано певний новий нелiнiйний пiдхiд в процедурi. Другий i третiй факти пов’язанi з побудовою визначальних рiвнянь. Другий факт полягає у вiдсутностi належних коментарiв щодо визначення малостi деформацiй i градiєнтiв змiщень (вiдсутностi єкоментарiв щодо критерiю застосування лiнiйної моделi, оскiльки критерiй |u_(i,k)^ |≪1 досить абстрактним). Показано, що iснує базована на нелiнiйних спiввiдношеннях Кошi наближена процедура визначення порогових значень деформацiй i градiєнтiв змiщень, при яких вже починає виявлятися нелiнiйнiсть процесу деформування. Третiй факт полягає у вiдсутностi коментарiв щодо суттєвих вiдмiнностей мiж нелiнiйними визначальними рiвняннями, записаними для впорядкованих пар «тензор напружень Лягранжа – тензор деформацiй Кошi-Грiна» та «тензор напружень Кiрхгоффа – градiєнти змiщень». Показано на прикладi зсувних напружень та моделi нелiнiйного пружного деформування Мернагана, що вiдхилення вiд вiдповiдних прямих лiнiйного деформування для рiзних пар вiдрiзняються в дiапазонi малих деформацiй i малих градiєнтiв змiщень у багато разiв. Загальна оцiнка фактiв умовчання виглядає позитивною, оскiльки для однiєї частини вчених-механiкiв умовчання створює комфортне вiдчуття монолiтностi класичної теорiї пружностi, а для iншої частини умовчання створюють простiр для розвитку теорiї.
Ключовi слова: математичне моделювання пружних матерiалiв, замовчування в класичнiй теорiї пружностi, малiсть деформацiй i градiєнтiв змiщень, нелiнiйнi кiнематичнi параметри
2000 MSC: 74B20
УДК: 539.3

Кількість посилань 22

Interparticle interactions, general relativity effects, and critical parameters of white dwarfs
Vavrukh M., Tyshko N., Smerechynskyj S.
Department of astrophysics
Ivan Franko National University of Lviv
8 Kyrylo and Methodiy str., 79005, Lviv, Ukraine
Two methods of mass calculation of degenerate dwarfs were considered: based on (1) hydrostatic equilibrium equation as well as (2) variational principle. In this work we used model with ideal electron subsystem and one with Coulomb interaction. An instability region of massive white dwarfs was explored. For the first time, taking into account the Coulomb interaction, there were obtained critical values of mass and relativistic parameter at wich instability due to general relativity effects occured.
Keywords: degenerate dwarf, white dwarf, Coulomb interaction, general relativity effects, instability, critical value of relativistic parameter
Розглянуто способи розрахунку маси вироджених карликiв як на основi рiвняння механiчної рiвноваги, так i варiацiйного пiдходу. Для конкретних розрахункiв використано модель з iдеальною електронною пiдсистемою та модель з кулонiвськими взаємодiями. Дослiджено область стiйкостi масивних вироджених карликiв. Вперше при врахуваннi мiжчастинкових взаємодiй визначено критичне значення маси зорi i значення параметра релятивiзму у її центрi, при якому порушується стiйкiсть за рахунок ефектiв загальної теорiї вiдносностi.
Ключовi слова: виродженi карлики, кулонiвськi взаємодiї, ефекти загальної теорiї вiдносностi, стiйкiсть карликiв, максимальна маса, критичне значення параметра релятивiзму.
2000 MSC: 85A15, 83C25, 82D35
УДК: 524.31.084, 524.384, 524.352.3

Кількість посилань 22