Рівняння математичної фізики

Маркович Б. М.
Код: 978-966-553-891-2
Навчальний посібник. Львів: Видавництво Львівської політехніки, 2010. 384 c. Формат 170 х 240 мм. М'яка обкладинка.
Ціна:254,00грн.
Weight: 0 кг

Розглядаються основні методи дослідження крайових та мішаних задач для лінійних диференціальних рівнянь математичної фізики другого порядку. Особливістю посібника є безпосередній зв’язок між фізичною суттю розглядуваних явищ та математичними методами їх дослідження. Крім теоретичного матеріалу посібник містить значну кількість детально розібраних прикладів розв’язування типових задач, а також задач та вправ для самостійного опрацювання.
Для студентів, що навчаються за базовими напрямами: 6.040301 “Прикладна математика”, 6.040302 “Інформатика”, 6.040204 “Прикладна фізика” бакалаврського рівня навчання.

Зміст

Вступ.
Розділ 1. Класифікація та зведення до канонічного вигляду диференціальних рівнянь у частинних похідних другого порядку.
1.1. Диференціальні рівняння з двома незалежними змінними.
1.2. Диференціальні рівняння з багатьма незалежними змінними.
1.3. Канонічні форми лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.
Задачі.

Розділ 2. Основні математичні моделі фізичних задач.
2.1. Задачі, які приводять до рівнянь гіперболічного типу.
2.2. Задачі, які приводять до рівнянь параболічного типу.
2.3. Задачі, які приводять до рівнянь еліптичного типу.
Задачі.

Розділ 3. Задача Коші для хвильового рівняння на прямій.
3.1. Формула Даламбера.
3.2. Фізичний зміст формули Даламбера.
3.3. Неперервна залежність розв’язку задачі Коші від початкових даних. Узагальнений розв’язок.
3.4. Неоднорідне рівняння, метод Дюамеля.
Задачі.

Розділ 4. Мішана задача для хвильового рівняння на півпрямій та на відрізку. Метод продовження.
4.1. Хвильове рівняння на півпрямій.
4.2. Хвильове рівняння на відрізку.
Задачі.

Розділ 5. Задачі для рівняння другого порядку гіперболічного типу на площині.
5.1. Задача Коші, метод Рімана.
5.2. Задача Гурса.
Задачі.

Розділ 6. Поширення хвиль у просторі.
6.1. Часткові розв’язки однорідного хвильового рівняння.
6.2. Метод усереднення.
6.3. Неоднорідне хвильове рівняння, формула Кірхгофа.
6.4. Неоднорідне хвильове рівняння на площині, метод спуску.
6.5. Фізичний зміст розв’язків хвильового рівняння в просторі та на площині.
6.6. Метод продовження.
Задачі.

Розділ 7. Метод розділення змінних. Інтегральні перетворення.
7.1. Однорідні крайові умови.
7.2. Неоднорідні крайові умови.
7.3. Метод інтегрального перетворення Фур’є.
7.4. Метод інтегрального перетворення Лапласа .
Задачі.

Розділ 8. Рівняння коливань скінченної струни. Метод розділення змінних.
8.1. Теорема про єдиність розв’язку.
8.2. Рівняння вільних коливань струни із закріпленими кінцями, фізична інтерпретація розв’язку.
8.3. Неоднорідне рівняння коливань.
8.4. Локалізована в точці сила.
Задачі.

Розділ 9. Рівняння теплопровідності.
9.1. Принцип максимуму для розв’язків рівняння теплопровідності.
9.2. Теорема про єдиність розв’язку.
9.3. Рівняння теплопровідності на відрізку.
9.4. Рівняння теплопровідності на прямій.
9.5. Рівняння теплопровідності на півпрямій.
9.6. Рівняння теплопровідності в просторі та на площині.
Задачі.

Розділ 10. Крайові задачі для рівнянь Лапласа та Пуассона.
10.1. Постановка крайових задач.
10.2. Фундаментальні розв’язки рівняння Лапласа у просторі та на площині.
10.3. Перетворення інверсії.
10.4. Формули Гріна .
10.5. Основні властивості гармонічних функцій.
10.6. Принцип максимуму та його наслідки.
10.7. Властивості розв’язків задачі Діріхле.
10.8. Властивості розв’язків другої та третьої крайових задач.
10.9. Метод розділення змінних.
Задачі.

Розділ 11. Функція Гріна оператора Лапласа.
11.1. Функція Гріна задачі Діріхле.
11.2. Функція Гріна третьої крайової задачі.
11.3. Функція Гріна задачі Неймана.
11.4. Метод електростатичних зображень для побудови функції Гріна.
11.5. Подання функції Гріна у вигляді ряду.
11.6. Метод конформного відображення.
Задачі.

Розділ 12. Теорія потенціалу.
12.1. Об’ємний потенціал.
12.2. Потенціал подвійного шару.
12.3. Потенціал поростого шару.
12.4. Застосування потенціалів до розв’язування крайових задач.
Задачі.

Додаток А. Дельта-функція та її властивості.
Додаток В. Поверхні та криві Ляпунова.
Відповіді.
Список літератури.
Предметний покажчик.