Mathematical modeling of elastic disturbance propagation in a structure containing a porous layer saturated with gas and water
Chekurin V.1,2, Pavlova A.3
1Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics of NAS of Ukraine
3-b Naukova str., 79060, Lviv, Ukraine
2Kuyawy and Pomorze University in Bydgoszcz
55-57 Torunska str., 85-023 Bydgoszcz, Poland
3Carpathian Branch of Subbotin Institute of Geophysics of NAS of Ukraine
3-b Naukova str., 79060, Lviv, Ukraine

A horizontally layered elastic structure containing a homogeneous porous layer saturated partly with gas and partly with water is considered. The paper is aimed at studying of interaction of elastic waves, caused by local pulse source, with the structure. The boundary-value problem describing the wave dynamics of the structure is formulated. A mathematical model describing distributions of the gas and water in a pore space of the porous layer depending of the amount of the gas accumulated in the layer is developed. The problem is solved with the use of Fourier transform. It was established that wavefield pattern on the free surface of the structure is dependent on amount of gas accumulated in the porous layer. Quantitative measures relating the wavefield parameters on the structure's free surface and the amount of gas accumulated in the porous layer are introduced. The obtained results can be used to develop distance methods for accounting of amount of natural gas accumulated in underground gas storage facilities built in aquifers.
Keywords: layered structure, porous media, elastic disturbance.
2000 MSC: 74J20

Математичне моделювання поширення пружних збурень у структурі, яка містить пористий шар, насичений газом і водою
Чекурін В. Ф.1,2, Павлова А. Ю.3
1Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України
вул. Наукова, 3-б, 79060, Львів, Україна
2Куявсько-Поморський університет, вул. Торунська, 55-57, 85-023, Бидгощ, Польща
3Карпатське відділення інституту геофізики ім. С. І. Субботіна НАН України
вул. Наукова, 3-б, 79060, Львів, Україна

Досліджено взаємодію пружних хвиль, зумовлених локальним імпульсним джерелом, із півбезмежною горизонтально-шаруватою структурою, що містить пористий шар, насичений газом i водою. Запропоновано математичну модель, яка описує розподіл газу i води в поровому просторі шару залежно від кiлькостi накопиченого в ньому газу. В межах моделі обчислені ефективні пружні модулі областей пористого шару, насичених газом і водою. Сформульовано початково-крайову задачу динаміки пружних хвиль у структурі та із застосуванням перетворення Фур’є отримано її розв’язок. Із використанням отриманого розв’язку досліджено картину хвильового поля на вiльнiй поверхні структури залежно від кiлькостi газу, нагромадженого в пористому шарі. Введено та чисельно досліджено характеристики, які пов’язують параметри хвильового поля на вiльній поверхні із кількістю газу, нагромадженого в пористому шарі. Отримані результати можна застосувати для розроблення дистанційних методів обліку кiлькостi природного газу в підземних сховищах газу, споруджених у водоносних горизонтах.
Ключові слова: шаруваті структури; пористі середовища; пружні збурення.
УДК: 550.344
Кількість посилань: 14.

Generalized electrodiffusion equation with fractality of space-time
Kostrobij P.1, Markovych B.1, Viznovych O.1, Tokarchuk M.1,2
1Lviv Polytechnic National University
12 S. Bandera str., 79013, Lviv, Ukraine
2Institute for Condensed Matter Physics
of the National Academy of Sciences of Ukraine
1 Svientsitskii str., 79011, Lviv, Ukraine

The new non-Markovian electrodiffusion equations of ions in spatially heterogeneous environment with fractal structure and generalized Cattaneo-type diffusion equation with taking into account fractality of space-time are obtained. Different models of the frequency dependence of memory functions, which lead to known diffusion equations with fractality of space-time and their generalizations are considered.
Keywords: generalized diffusion equation, nonequilibrium statistical operator, Renyi statistics, multifractal time, spatial fractality, fractality of space-time.
2000 MSC: 82C05, 82C70

Узагальнені рівняння електродифузії з просторово-часовою фрактальністю
Костробій П. П.1, Маркович Б. М.1, Візнович О. В.1, Токарчук М. В.1,2
1Національний університет ``Львівська політехніка''
вул. С. Бандери, 12, 79013, Львів, Україна
2Інститут фізики конденсованих систем НАН України
вул. Свєнціцького, 1, 79011, Львів, Україна

Отримано нові немарковські рівняння електродифузії іонів у просторово неоднорідному середовищі з фрактальною структурою та узагальнені рівняння дифузії типу Кеттано з врахуванням просторово-часової фрактальності. Розглянуто різні моделі частотної залежності для функцій пам'яті, які приводять до відомих рівнянь дифузії з просторово-часовою фрактальністю, а також їх узагальнень.
Ключові слова: узагальнене рівняння дифузії, нерівноважний статистичний оператор, статистика Рені, часова мультифрактальність, просторова фрактальність, просторово-часова фрактальність.
УДК: 538.93
Кількість посилань: 78.

Quantum mechanical effects in the Coulomb interaction of electrons which are localized in opposite double electron layers
Lukiyanets B., Matulka D.
Lviv Polytechnic National University
12 S. Bandera str., 79013, Lviv, Ukraine

The Coulomb interaction between electrons of opposite double layers in nanostructures with taking into account discrete electron states is theoretically studied. It is shown that at a certain ratio between the width of double layers and distances between them, the Coulomb interaction is sensitive to the energy states of interacting electrons.
Keywords: Coulomb interaction, double electron layer, quantum mechanical effect.
2000 MSC: 81V99

Квантово-механічні ефекти в кулонівській взаємодії електронів локалізованих у протилежних подвійних електричних шарах
Лукіянець Б. А., Матулка Д. В.
Національний університет “Львівська політехніка”
вул. С. Бандери, 12, 79013, Львів, Україна

Теоретично досліджено кулонівську взаємодію між електронами в протилежних подвійних шарах у наноструктурах з урахуванням дискретних електронних станів. Показано, що за певного співвідношення між шириною подвійних шарів і відстанню між ними кулонівська взаємодія чутлива до енергетичних станів взаємодіючих електронів.
Ключові слова: кулонівська взаємодія, подвійний електричний шар, квантово-механічний ефект.
УДК: 53.043
Кількість посилань: 7.

Optimization of unsteady operating modes of gas mains
Prytula N.1, Pyanylo Ya.2, Prytula M.1
1Institute of Gas Transmission PJSC Ukrtransgas
16 Marshala Koneva str., 61004, Kharkiv, Ukraine
2Centre of Mathematical Modelling of Pidstryhach Institute
for Applied Problems of Mechanics and Mathematics NAS of Ukraine
15 Dudayev str.,79005, Lviv, Ukraine

We consider the problem of operating mode control of compressor stations to ensure optimal operating mode of the main gas in a wide range of gas transmission volumes for the different options of initial and boundary conditions. We propose an adaptive algorithm of designing control actions, which ensures optimality criterion and does not violate existing technological limitations.
Keywords: gas main, optimal operating mode, optimality criterion, compressor station, control.
2000 MSC: 76N25, 49J20

Оптимізація неусталених режимів роботи магістральних газопроводів}
Притула Н. М.1, П'янило Я. Д.2, Притула М. Г.1
1Філія “Науково-дослідний інститут транспорту газу” ПАТ “УКРТРАНСГАЗ”
вул. Маршала Конєва, 16, 61004, Харків, Україна
2Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики
ім. Я. С. Підстригача НАН України
вул. Д. Дудаєва, 15, 79005, Львів, Україна

Розглянуто задачу керування режимами роботи компресорних станцій для забезпечення оптимального режиму роботи магістрального газопроводу в широких діапазонах зміни об'ємів транспортування газу за різних можливих варіантів початкових та крайових умов. Запропоновано адаптивний алгоритм формування керуючих дій, який забезпечує критерій оптимальності і водночас не порушуються наявні технологічні обмеження.
Ключові слова: магістральний газопровід, оптимальний режим, критерій оптимальності, компресорна станція, керування.
УДК: 621.64.029
Кількість посилань: 14.

Pipeline pressure distribution finding methods}
Pyanylo Ya., Sobko V
Centre for Mathematical Modelling of Pidstryhach Institute
for Applied Problems of Mechanics and Mathematics,
National Academy of Sciences of Ukraine
15 Dudayev str., 79000, Lviv, Ukraine

The method of solving problems of mathematical physics, in particular for calculating a non-stationary gas flow in pipelines, is proposed in this article on the basis of the biorthogonal polynomial constructed by the authors. The method of solving the problem by means of the separation of variables in the base of biorthogonal polynomials is investigated. The analytical-approximate and approximate solutions of the problem as the sum of some biorthogonal and quasi-spectral polynomials are found. The comparative analysis between the obtained analytical-approximate and approximate solutions is conducted. The influence of parameters of methods, including the order of the partial sum, a bit grid, and an accuracy error of calculations on the obtained solution are studied. The results of calculation are presented in the form of tables.
Keywords: spectral methods, mathematical model, non-stationary gas flow, linearization, biorthogonal and quasi-orthogonal polynomials.
2000 MSC:12E10

Методи знаходження розподілу тиску в трубопроводі
П'янило Я., Собко В.
Центр математичного моделювання
Інституту прикладних проблем механіки і математики
ім. Я. С. Підстригача НАН України
вул. Дудаєва, 15, 79000, Львів,Україна

У праці на базі побудованих авторами біортогональних поліномів запропоновано метод розв'язування задач математичної фізики, зокрема для розрахунку нестаціонарного руху газу в трубопроводах. Досліджено спосіб розв'язування задачі методом розділення змінних у базисі біортогональних поліномів. Знайдено аналітично-наближений та наближений розв'язки задачі у вигляді суми ряду біортогональних та квазіспектральних поліномів. Проведено порівняльний аналіз між отриманими наближеним та аналітично-наближеним розв'язками. Вивчено вплив параметрів методів, зокрема порядку часткової суми, розрядної сітки та похибки обчислення на точність отриманого розв'язку. Результати обчислень подано у вигляді таблиць.
Ключові слова: спектральні методи, математична модель, нестаціонарний рух газу, лінеаризація, біортогональні та квазіортогональні поліноми.
УДК: 519.6:539.3
Кількість посилань: 21.